Partie B : démonstration

On veut démontrer que `F` est une primitive de `f`, autrement dit on veut montrer que, pour tout `t` réel positif, `F'(t)=f(t)`.

Pour ce faire, on suit le protocole suivant :

• on calcule le taux de variation de la fonction \(F\) entre \(t\) et \(t+h\) pour \(\)\(h\) et \(t\in\mathbb R^+\) : \(T_h(t)=\dfrac{F(t+h)-F(t)}{h}\) ;
• on détermine la dérivée de la fonction \(F\) en calculant la limite, lorsque \(h\) tend vers \(0\), du taux de variation : \(F'(t)=\lim\limits_{h\rightarrow0}T_h(t)\) pour tout \(t\geqslant0\) ;  
• on compare, pour tout \(t\) positif, \(F'(t)\) et \(f(t)\) et on conclut.

En suivant ce protocole, essayer de réaliser la démonstration attendue.

Par la suite on reprend point par point la démonstration.
1. Soit \(t\) un réel positif et \(h\) un réel strictement positif. La figure suivante montre, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction \(f\) ainsi que les droites d'équations \(x=t\) et \(x=t+h\).

    a. Identifier graphiquement \(F(t+h)-F(t)\).    
    b. En utilisant la méthode des rectangles, établir, pour tout \(t\in\mathbb R^+\), \(h\times 3t^2\leqslant F(t+h)-F(t) \leqslant h\times 3(t+h)^2\).    
    c. Établir  \(3t^2\leqslant T_h(t) \leqslant 3(t+h)^2\). 

 2. Pour calculer la dérivée de la fonction \(F\) on peut réaliser l'encadrement suivant : \(\lim\limits_{h\rightarrow0}3t^2\leqslant \lim\limits_{h\rightarrow0}T_h(t)\leqslant\lim\limits_{h\rightarrow0}3(t+h)^2\) pour tout \(t\geqslant0\).  
Quelle peut être l'expression de \(F'(t)\) pour tout \(t\geqslant0\) ? Donner l'expression de \(F(t)\).

3. Conclure.